Also, ich glaube, daß der Beagle a)einfach keine Lust auf laute Plagegeister hat und b)sich gestört fühlt. Daß er die Kinder mit einem Schnapperer ins Gesicht vertreiben kann, hat er jetzt leider schon begriffen und wendet das Mittel ja auch für ihn erfolgreich an. Daß er im schlafen nicht gestört werden will (oder in "seinem" Körbchen) ist eigentlich ganz normal. Kleine Kinder, die rangmäßig gar nicht über ihm stehen können, haben ihn da einfach nicht zu stören und solche Situationen sind einfach von den Erwachsenen zu verhindern.
Vielleicht versucht ihr, einerseits ihm die Kinder wieder schmackhaft zu machen; dazu sollten vorerst alle Kontakte mit Kindern nur noch (eigentlich sowieso) nur unter strikter Aufsicht von Dir zustande kommen. Kinder geben Leckerchen, kurzes Spiel, nicht zu wild. Wird es doch zu heftig/wild, unterbrichst Du (!!) das Spiel mit einem kurzen "Nein!", anschließend Hund kurz ignorieren. Er sollte dadurch begreifen, daß Spielen klasse ist, aber eben nicht zu wild.
Dazu unbedingt Deine Rudelführerposition festigen (arbeitet ihr? falls nicht, unbedingt mit Unterordnung anfangen).
Die Kinder dürfen den Hund generell nicht mehr stören, wenn er schläft, auf seinem Platz liegt, frißt usw. Erfahrungen mit Kindern haben ab jetzt nur noch unter Kontrolle Deinerseits stattzufinden und positiv für beide Seiten auszugehen.
Wenn er nochmal versucht, ein Kind per Schnapperer aus Deiner Küche zu vertreiben (was bei den Maßnahmen nicht passieren sollte, aber man weiß ja nie), unterbindest Du das mit einem "Nein!" und schickst ihn u.U. kurz auf seinen Platz, wo er ein Weilchen zu liegen hat.
Will heißen: Du bist der Boß, und wer vertrieben wird, bestimmst Du, und nicht Darkie. Gleichzeitig hat Darkie aber auch ein Recht auf seine Ruhe, und für die mußt Du sorgen (Kinder ihn nicht stören lassen). Kombiniert mit möglichst vielen guten Erfahrungen mit Kindern (Leckerchen...) sollte sich das Problem hoffentlich geben.